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首先，检查manifest.json文件。确保其中正确配置了权限相关的字段，特别是对于需要跨域访问的资源，要准确声明来源。例如，如果插件需要访问特定域名下的资源，需在“permissions”字段中添加该域名。同时，注意文件格式是否正确，避免出现语法错误。
接着，查看浏览器的控制台报错信息。打开Chrome浏览器，按下F12键或者右键点击页面选择“检查”，唤出开发者工具面板，在控制台（Console）选项卡中查找与跨域请求相关的错误提示，这些提示能明确指出是哪个请求出现了跨域问题以及具体的错误类型，比如是“拒绝访问”还是其他类型的错误。
然后，确认插件的更新状态。有时旧版本的插件可能因不兼容当前浏览器而导致权限申请失败。在扩展程序页面中，检查插件是否有可更新的版本，若有则及时进行更新。
此外，还需考虑网络环境和安全设置的影响。下载和安装插件需要稳定的网络环境，如果网络出现问题，可能导致权限申请失败。同时，要注意设备的防病毒软件、防火墙等安全设置，这些设置可能会影响插件的权限申请。可适当调整这些安全设置，将谷歌浏览器设置为信任的程序。
最后，若上述方法均无效，可以尝试重新安装插件。先卸载当前的插件，然后重新从官方渠道下载并安装最新版本的插件，再次进行权限申请操作。